存不存在沒有圖像的函數(shù)?
網(wǎng)友解答: 其實很多。而且,可以證明,這種函數(shù)事實上不在“少數(shù)”,甚至比那些“正常”的函數(shù)“多得多”。狄拉克δ函數(shù)(沖激函數(shù))學信號處理的同學對它可以說相當熟悉了。其實我們是沒法畫出這個
其實很多。而且,可以證明,這種函數(shù)事實上不在“少數(shù)”,甚至比那些“正?!钡暮瘮?shù)“多得多”。
狄拉克δ函數(shù)(沖激函數(shù))學信號處理的同學對它可以說相當熟悉了。
其實我們是沒法畫出這個圖像的,因為它在原點處的幅度是無窮大,但是在“這一點”的面積又是1。
魏爾斯特拉斯函數(shù)在數(shù)學發(fā)展史上,人們一直猜測,連續(xù)函數(shù)必然是近乎可導的。即:
連續(xù)函數(shù)在其定義域中,除去有限個點外,總有一些光滑的可導部分,所謂不可導的點必然只是有限的。
1872年,德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯(集合論創(chuàng)始人康托爾的導師)利用函數(shù)項級數(shù)構造了一個函數(shù),數(shù)學描述如下:
這個函數(shù)奇葩在于,它處處連續(xù),卻處處不可導。
簡而言之,它的尖刺折點是如此之多,以至于無論你放多大,在多細微的尺度觀察任何一段,函數(shù)圖像都不會更光滑,它處處都是尖銳的。
它是一種不可測函數(shù),你無法用筆畫出圖像的任何一部分,因為每一點的導數(shù)都不存在,畫的人將無法知道每一點該朝哪個方向畫。
通過計算機逐點描繪,函數(shù)圖像大致是這樣的:
該反例構造出來后,在數(shù)學界引起極大的震動。
隨后,這個例子促成了一門新的學科“分形幾何”的產(chǎn)生,所謂“分形”,就是指某圖案的局部與整體具有相似性。
爆米花函數(shù)(Thomae's function)定義:
f(x) = 1/q,當x = p/q,p為整數(shù),q為自然數(shù),pq互質(zhì)。即x為有理數(shù);
f(x) = 0,當x為無理數(shù);
其中,q為自然數(shù)。
這個和狄利克雷函數(shù)比較類似。
網(wǎng)友解答:如果我告訴你有一個函數(shù),它確實有圖像,但是你卻畫不出來,你信嗎?
最著名的當屬狄利克雷函數(shù)表達式為
當X為無理數(shù)是,值取0
當X為有理數(shù)時,值取1
大家可以在腦海中想象一下,假設從X軸正方向出發(fā),會發(fā)現(xiàn)無理數(shù)和有理數(shù)都是無窮多,即便在一個極短的區(qū)間內(nèi),都無法畫全整個圖像
或者說腦海想象出的圖像,用肉眼看上去就是兩條直線:0和1,但這是由于點太密集導致的錯覺,本質(zhì)來講根本不能叫直線,因為處處不連續(xù),處處都是分散的點。
即便如此,狄利克雷函數(shù)的圖像仍舊是客觀存在的。
期待您的點評和關注哦!