網(wǎng)友解答: 小學(xué)時(shí)候我們就學(xué)過(guò)圓的面積公式 其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家

小學(xué)時(shí)候我們就學(xué)過(guò)圓的面積公式

其中S是圓的面積，π是圓周率，R是圓的半徑。大家還記得這個(gè)公式是怎么得到的嗎？

首先，我們畫一個(gè)圓，這個(gè)圓的半徑為R，周長(zhǎng)為C。我們知道，圓的周長(zhǎng)與直徑的比定義為圓周率，因此

這個(gè)公式就是圓周率π的定義，是不需要推導(dǎo)的。

然后，我們把圓分割成許多個(gè)小扇形，就好像一個(gè)比薩餅分割成了很多小塊。再然后，我們把這些比薩餅一正一反的拼在一起，這樣就形成了一個(gè)接近于長(zhǎng)方形的圖形。

可以想象，如果圓分割的越細(xì)，拼好的圖形就越接近長(zhǎng)方形。如果圓分割成無(wú)限多份，那么拼起來(lái)就是一個(gè)嚴(yán)格的長(zhǎng)方形了。而且，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積與圓的面積是相等的。我們要求圓的面積，只需要求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就可以了。

這個(gè)長(zhǎng)方形的寬就是圓的半徑R，而長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一半

根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)乘寬”，我們得到圓的面積公式：

其實(shí)，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程很簡(jiǎn)單，那就是先無(wú)限分割，再把這無(wú)限多份求和。分割就是微分，求和就是積分，這就是微積分的基本思想。

大家知道微積分是誰(shuí)發(fā)明的方法嗎？

其實(shí)，從古希臘時(shí)代開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)利用微積分的思想處理問(wèn)題了，比如阿基米德、劉徽等人，在處理與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)都用到了這種思想，但是那時(shí)微積分還沒(méi)有成為一種理論體系。直到十七世紀(jì)，由于物理學(xué)中求解運(yùn)動(dòng)-如天文、航海等問(wèn)題越來(lái)越多，微積分的需求變得越來(lái)越迫切。于是，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家牛頓和德國(guó)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別發(fā)明了微積分。

1665年，牛頓從劍橋大學(xué)畢業(yè)了，當(dāng)時(shí)他22歲。他本來(lái)應(yīng)該留校工作，但是英國(guó)突然爆發(fā)瘟疫，學(xué)校關(guān)閉了。牛頓只好回到家鄉(xiāng)躲避瘟疫。在隨后的兩年里，牛頓遇到了他的蘋果，發(fā)明了流數(shù)法、發(fā)現(xiàn)了色散，并提出了萬(wàn)有引力定律。

牛頓所謂的流數(shù)法，就是我們所說(shuō)的微積分。但是牛頓當(dāng)時(shí)并沒(méi)有把它看得太重要，而只是把它作為一種很小的數(shù)學(xué)工具，是自己研究物理問(wèn)題時(shí)的副產(chǎn)品，所以并不急于把這種方法公之于眾。

十年之后，萊布尼茨了解到牛頓的數(shù)學(xué)工作，與牛頓進(jìn)行了短暫的通信。在1684年，萊布尼茨作為微積分發(fā)明第一人，連續(xù)發(fā)表了兩篇論文，正式提出了微積分的思想，這比牛頓提出的流數(shù)法幾乎晚了20年。但是在論文中，萊布尼茨對(duì)他與牛頓之間通信的事只字未提。

牛頓憤怒了。作為歐洲科學(xué)界的學(xué)術(shù)權(quán)威，牛頓通過(guò)英國(guó)皇家科學(xué)院公開(kāi)指責(zé)萊布尼茨，并刪除了巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中有關(guān)萊布尼茨的部分。萊布尼茨也毫不示弱，對(duì)牛頓反唇相譏。兩個(gè)科學(xué)巨匠的爭(zhēng)論直到二人去世依然沒(méi)有結(jié)果。所以我們今天談到微積分公式，都稱之為“牛頓-萊布尼茨公式”。

他們?cè)谧约旱闹髦袆h除對(duì)手的名字時(shí)，如果知道后人總是把他們的名字放在一塊寫，又會(huì)作何感想呢？歷史就是這么有趣。

為了讓大家更了解微積分和它的應(yīng)用，我們?cè)賮?lái)計(jì)算一個(gè)面積：有一個(gè)三條邊為直線，一條邊為曲線的木板，并且有兩個(gè)直角。我們希望求出木板的面積。

為了求出這個(gè)面積，我們首先把木板放在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，底邊與x軸重合。左右兩個(gè)邊分別對(duì)應(yīng)著x=a和x=b兩個(gè)位置，而頂邊曲線滿足函數(shù)y=f(x).函數(shù)的意思就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系：每個(gè)x對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)高度是f(x)。

如果我們把這個(gè)圖形使用與y軸平行的線進(jìn)行無(wú)線分割，那么每一個(gè)豎條都非常接近于一個(gè)長(zhǎng)方形，而且長(zhǎng)方形的寬是一小段橫坐標(biāo)Δx，高接近于f(x)，所以這一小條的面積就是f(x)Δx。

現(xiàn)在我們把無(wú)限多的小豎條求和，就是板子的面積，寫作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被積函數(shù)，這個(gè)表達(dá)式就是積分，表示f(x)、x=a、x=b和x軸四條線圍成的圖形面積。

怎么樣？雖然微積分的計(jì)算比較復(fù)雜，但是明白原理還是十分簡(jiǎn)單的，對(duì)不對(duì)？

微積分的本質(zhì)是什么？

微積分是一門變量學(xué)科，包含著豐富的辨證思想。恩格斯說(shuō):“有了變量，辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué)”，“變數(shù)的數(shù)學(xué)——其中最重要的部分微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運(yùn)用”，通過(guò)變量、函數(shù)、極限、微分和積分等基本概念和基本方法，將辨證思想滲透到整個(gè)微積分之中，在一定條件下，使數(shù)學(xué)中直與曲、常量與變量、有限與無(wú)限、局部與整體、近似與精確、特殊與一般、離散與連續(xù)、對(duì)立與統(tǒng)一、量變與質(zhì)變、否定與肯定等基本矛盾的對(duì)立面相互轉(zhuǎn)化，是微積分中辨證思想的具體體現(xiàn)。

恩格斯曾經(jīng)指出:“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾，在一定條件下直線和曲線應(yīng)當(dāng)是一回事，我們知道，直與曲是有嚴(yán)格區(qū)別的兩個(gè)概念，從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特征來(lái)看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0;從代數(shù)表達(dá)式來(lái)看，前者是線性方程，后者是非線性方程；一般情況下，無(wú)論在理論的處理上還是在實(shí)際的計(jì)算上，直比曲要簡(jiǎn)單得多，然而在形而上學(xué)看來(lái)，曲就是曲，直就是直，非此即比;辯證法認(rèn)為，在一定條件下，直與曲可以相互轉(zhuǎn)化。

通過(guò)直認(rèn)識(shí)曲是微積分中解決許多問(wèn)題的一個(gè)重要思想，直與曲的轉(zhuǎn)化是微積分必不可少的一個(gè)方法，微積分正是利用直與曲的矛盾轉(zhuǎn)化達(dá)到了初等數(shù)學(xué)所完全不能達(dá)到的目的，微積分中有許多在曲的局部以直代曲來(lái)解決問(wèn)題的典型例子。

常量與變量是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本概念，常量是反映事物相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的量，而變量則是反映事物運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)的量，這兩種量的意義有著嚴(yán)格的區(qū)分，但是它們又是相互依存、互相滲透，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的，在微積分的內(nèi)容體系中，要充分重視常量與變量在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。

有限與無(wú)限是對(duì)立的統(tǒng)一，在微積分中，我們往往通過(guò)有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限，也通過(guò)無(wú)限來(lái)確定有限。

變量變化過(guò)程中的局部與整體之間的相互對(duì)立統(tǒng)一的辨證關(guān)系，使得整個(gè)微積分在這對(duì)矛盾的基礎(chǔ)上得以展開(kāi)，在微積分中，通過(guò)局部的性質(zhì)來(lái)揭示整體的性質(zhì)，又通過(guò)整體來(lái)刻畫局部，是一個(gè)經(jīng)常用到的重要方法。

微積分中通過(guò)先近似、再精確的轉(zhuǎn)化使得問(wèn)題變得比較容易解決。

從一般到特殊和從特殊到一般乃是人類認(rèn)識(shí)客觀世界的一個(gè)普遍規(guī)律，一方面由于事物的特殊性中包含著一般性，即共性存在于個(gè)性之中;另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更能反映事物的本質(zhì)

在數(shù)學(xué)中，無(wú)論是描述相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)的量，還是描述運(yùn)動(dòng)變化狀態(tài)的量，都存在著兩種情況:連續(xù)與離散，連續(xù)與離散是數(shù)學(xué)研究中的重要矛盾之一，它們既有本質(zhì)的差別，又在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化。

對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是唯物辯證法的實(shí)質(zhì)和核心，是唯物辯證法的最基本的規(guī)律，它認(rèn)為:任何事物自身都包含既相互聯(lián)系又相互排斥的兩個(gè)方面，也就是每一事物都是一分為二的，都分裂為兩個(gè)對(duì)立的部分、方面和趨勢(shì)，它們互相排斥、對(duì)立，但又互相聯(lián)系，兩者共處于矛盾的統(tǒng)一體中，數(shù)學(xué)中到處充滿著矛盾，充滿著各種對(duì)立面的轉(zhuǎn)化，比如，數(shù)學(xué)中直線可以看成半徑為無(wú)窮大的圓，半徑為無(wú)窮大的圓，也可以看成直線.就是說(shuō)在這種意義下，直線和圓可以互相轉(zhuǎn)化或者說(shuō)“直和曲”可以互相轉(zhuǎn)化，類似地，平面可以看成半徑為無(wú)窮大的球，半徑為無(wú)窮大的球也可以看成平面，在這種意義下，兩者是統(tǒng)一的，可以互相轉(zhuǎn)化、替代。

辯證唯物主義告訴我們，一切物質(zhì)都是質(zhì)與量的統(tǒng)一物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展，不僅有一定的空間形式，而且有一定的數(shù)量關(guān)系，這就是說(shuō)，量是形和數(shù)的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)正是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對(duì)象的，即從量的關(guān)系方面去把握事物的質(zhì)及其變化規(guī)律，事物的量變質(zhì)變規(guī)律反映在數(shù)學(xué)中，一是表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的質(zhì)的差異;二是從量變到質(zhì)變的飛躍過(guò)程。

任何事物的內(nèi)在矛盾都可以歸結(jié)為肯定和否定兩個(gè)方面，唯物辯證法從事物肯定和否定的對(duì)立關(guān)系中，揭示了事物發(fā)展是辨證否定的過(guò)程，用發(fā)展的觀點(diǎn)揭示和闡述科學(xué)內(nèi)容的辯證實(shí)質(zhì)，是馬克思運(yùn)用唯物辯證法研究科學(xué)問(wèn)題的一種獨(dú)到的思想方法，運(yùn)用這種思想方法可以將科學(xué)概念、理論和方法從唯心主義、形而上學(xué)等錯(cuò)誤哲學(xué)觀點(diǎn)的束縛下解放出來(lái)，使其置于正確哲學(xué)思想之上。

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