為什么數(shù)學(xué)上的光滑曲線不僅處處連續(xù)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)也要處處連續(xù)可導(dǎo)？首先，我們應(yīng)該弄清楚“平滑”一詞在2113中是模棱兩可的。在不同的4102種情況下，“平滑”的含義可能不同于1653。最常用的是C^{in

為什么數(shù)學(xué)上的光滑曲線不僅處處連續(xù)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)也要處處連續(xù)可導(dǎo)？

首先，我們應(yīng)該弄清楚“平滑”一詞在2113中是模棱兩可的。在不同的4102種情況下，“平滑”的含義可能不同于1653。最常用的是C^{infty}和C^1，而這里使用的是C^2，它甚至不屬于兩種最常用的方言。

C^2平滑度的重要性是由許多實際要求驅(qū)動的。

事實上，許多曲面是連續(xù)的，因此我們需要C^0平滑度。

如果我們需要描述沒有尖角的物體，我們需要導(dǎo)數(shù)函數(shù)的存在性和連續(xù)性，這需要C^1光滑性。

如果只是可微的，則導(dǎo)數(shù)函數(shù)可能會嚴重振蕩，這可以通過增加導(dǎo)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性來改善。

C^2平滑度更多來自光反射。請注意，導(dǎo)數(shù)不僅描述切線，還描述法線。從光的反射定律可知，法線決定了反射光的路徑，因此可以用視覺直接觀察法線是否連續(xù)變化。C^2光滑度用來描述光照連續(xù)變化的情況，一般樣條曲線都是光滑的，它是C^2光滑的。

高階平滑度一般用于理論分析，但在實際應(yīng)用中要求不太明顯。

為什么數(shù)學(xué)上的光滑曲線不僅處處連續(xù)可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)也要處處連續(xù)可導(dǎo)？

一階導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)的變化率。連續(xù)性和可微性之間的關(guān)系如下：關(guān)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性有四個經(jīng)典的句子：

1。連續(xù)函數(shù)不一定是可微的。

2?？晌⒑瘮?shù)是連續(xù)的。

3。導(dǎo)數(shù)函數(shù)越高，曲線越平滑。

4。有些函數(shù)處處連續(xù)，但不可微。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的存在性和“相等性”意味著函數(shù)在這一點上是可微的充要條件。連續(xù)性是函數(shù)的值，可微性是函數(shù)的變化率，所以可微性是一個更高的層次。事實上，你的問題可以轉(zhuǎn)化為f（x）在（a，b）上是連續(xù)可微的。你能得到F（x）的一階導(dǎo)數(shù)在（a，b）上是連續(xù)的嗎？我認為得出這個結(jié)論是可能的。