舒幼生《物理競(jìng)賽培優(yōu)教程》電勢(shì)

2017-03-27

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第三節(jié)電勢(shì)【知識(shí)要點(diǎn) 】－電勢(shì)反映電場(chǎng)能的性質(zhì)．電場(chǎng)力做功電勢(shì)能減小，克服電場(chǎng)力做功電勢(shì)能增加，電勢(shì)：電場(chǎng)中某點(diǎn)處電荷的電勢(shì)能‘與它的電量 q 之比值叫做場(chǎng)中該點(diǎn)的電勢(shì) U . 即電勢(shì)疊加原理：任

第三節(jié)電勢(shì)

【知識(shí)要點(diǎn) 】－電勢(shì)反映電場(chǎng)能的性質(zhì)．電場(chǎng)力做功電勢(shì)能減小，克服電場(chǎng)力做功電勢(shì)能增加，電勢(shì)：電場(chǎng)中某點(diǎn)處電荷的電勢(shì)能‘與它的電量 q 之比值叫做場(chǎng)中該點(diǎn)的電勢(shì) U . 即

電勢(shì)疊加原理：任意帶電體電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)，等于帶電體上各部分電荷單獨(dú)存在時(shí)，在該點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和．

電勢(shì)差：電場(chǎng)中兩點(diǎn)電勢(shì)的差值．若場(chǎng)中 A , B 兩點(diǎn)的電勢(shì)分為ＵＡ，ＵＢ，則兩點(diǎn)的電勢(shì)差記作ＵＡＢ，ＵＡＢ＝ＵＡ－ＵＢ．

幾種典型電場(chǎng)的電勢(shì)

( l ）點(diǎn)電荷電勢(shì)

如圖所示，空間有一點(diǎn)電荷，電量為 Q ，先計(jì)算 AB 兩點(diǎn)的電勢(shì)差．設(shè)

A , B 到 Q 的距離分別為 rA , rB ，把檢驗(yàn)電

荷 q 從 A 移到 B 電場(chǎng)力做功為 w ，由于是

變力做功，不能直接求 w ，現(xiàn)把 A 刀分成 n

段，當(dāng) n 足夠大時(shí)， W 可表示為

由電勢(shì)差定義得

若以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)，即把 r Ｂ →∞，ＵＢ＝０．則

由于 A 是任意的，所以點(diǎn)電荷的電勢(shì)

為

( 2 ）均勻帶電球殼電場(chǎng)的電勢(shì)

與場(chǎng)強(qiáng)公式相類似，根據(jù)點(diǎn)電荷的電勢(shì)，可得半徑為Ｒ的均勻帶電球殼電場(chǎng)的內(nèi)、外電勢(shì)分別為

【例題分析】

例 1 半徑分別為 Rl 和 R ２的兩個(gè)同心球面均勻帶電．電荷面密度分別為δ1 和δ2 ．試求： ( l ）大球面任一直徑 AB 上的電勢(shì)分布？

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( 2 ）如果過(guò) AB 將兩球各切掉一半，如圖 9 一 3 一 2 所示，剩下兩半球仍均勻帶電，電荷面密度不變．直徑 AB 上的電勢(shì)分布又如何？

分析與解（ 1 ）由均勻帶電球殼的電勢(shì)分布可

知：大球面均勻帶電，因此它在球內(nèi)產(chǎn)生的電勢(shì)處處

相等，有

小球面均勻帶電，它在其球內(nèi)和球外的電勢(shì)

由電勢(shì)疊加原理可得：直徑 AB 上電勢(shì)

分布為

( 2 ）當(dāng)通過(guò)直徑 AB 將兩個(gè)球面都切去一半時(shí)，因?yàn)槭Ｏ碌陌肭蛎婧颓腥サ陌肭蛎嫦鄬?duì) AB 是對(duì)稱的，所以剩下的大（小）半球面對(duì)直徑 A 刀上的電勢(shì)的貢獻(xiàn)僅為完整球面的一半．即

直徑 AB 上的電勢(shì)分布為

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例 2 如圖 9 一 3 一 3 所示，三根等長(zhǎng)的細(xì)絕緣棒連接成等邊三角形，尸點(diǎn)為三角形的內(nèi)心， Q 點(diǎn)與三角形共面且與尸關(guān)于 AC 棒對(duì)稱，三棒帶有均勻分布的電荷，此時(shí)，測(cè)得Ｐ，Q 兩點(diǎn)的電勢(shì)各為ＵＰ， U Ｑ，現(xiàn)將 B Ｃ棒取走，而 AB , AC 棒的電荷分布不變，求這時(shí)Ｐ， Q 兩點(diǎn)的電勢(shì)．

分析與解

由于三棒帶有均勻分布的電荷，所以三根棒對(duì)Ｐ

點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)應(yīng)相同，設(shè)為Ｕl(shuí) ．由對(duì)稱性可知， A

Ｃ對(duì) Q 點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)與它對(duì)Ｐ點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)應(yīng)相

等； BC 和ＢA 對(duì) Q 點(diǎn)電勢(shì)的貢獻(xiàn)也應(yīng)相等，設(shè)為

U ２．則電勢(shì)疊加原理可得

由以上兩式解得

取走 BC 棒后，Ｐ， Q 的電勢(shì)為

【鞏固習(xí)題】

1 ．有兩個(gè)質(zhì)量分別為 ml 和 m ２的帶電相同小球，每個(gè)球的電量為 Q ，開(kāi)始時(shí)兩個(gè)小球相距甚遠(yuǎn)，一個(gè)以初速 v 向另一個(gè)運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)初速為 O ，假定作用在小球上的惟一的力是小球間的靜電斥力，求兩個(gè)小球能接近的最小距離．

2 . N 個(gè)相同的球形水銀液滴，都帶有相同的電量，具有相同的電勢(shì) U ，如果這些水銀聚集在一起成一個(gè)大的水銀滴，這個(gè)大水銀滴的電勢(shì)多大？

3 ．如圖 9 一 3 一 4 所示，半徑為 R ２的導(dǎo)電球殼包圍半徑為 Rl 的金屬球，金屬球原來(lái)具有電勢(shì) Ul ．如果讓球殼接地，那么金屬球的電勢(shì)變?yōu)槎嗌伲?/p>

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4 ．正點(diǎn)電荷 Ql 和 Q ２分別置于 A , B 兩點(diǎn)，相距為 L ，現(xiàn)以 L 為直徑作半圓，如圖 9 一 3 一 5 所示，試求在此半圓上電勢(shì)最低點(diǎn)Ｐ的位置，

5 一個(gè)半徑為 a 的孤立的帶電金屬絲環(huán)，其中心處電勢(shì)為 U ０．將此環(huán)靠近半徑為 b 的接地的球，只有環(huán)中心點(diǎn)位于球面上，如圖 9 一 3 一 6 ．試求球上感應(yīng)電荷的電量．

6 ．如圖 9 一 3 一 7 所示，點(diǎn)電荷十 Q 位于金屬球殼的中心，金屬球殼的內(nèi)、外半徑分別為Ｒ1 , R ２，球殼所帶的凈電荷為零．若在無(wú)限處電勢(shì)為零，求 A , B 兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的大?。?/p>

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7 ．如圖 9 一 3 一 8 所示，半徑分別為 Rl 與 R ２的兩個(gè)同心半球面相對(duì)放置，兩個(gè)半球均勻帶電，電荷面密度分別為δ1 和δ２，試求大的半球面所對(duì)應(yīng)底面直徑 AOB 上電勢(shì)分布．

8 ．電荷 q 均勻分布在半球面 ACB 上，球面的半徑為 R , CD為通過(guò)半球頂點(diǎn) C 與球心 O 的軸線，如圖 9 一 3 一 9 所示．Ｐ、 Q 為 CD 軸線上在 O 點(diǎn)兩側(cè)．已知Ｐ點(diǎn)的電勢(shì)為 U Ｐ，離 O 點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)．試求 Q 點(diǎn)的電勢(shì) U Q ．

9 ．如圖 9 一 3 一 10 所示，在真空中有 4 個(gè)半徑為 a 的不帶電的相同導(dǎo)體球，球心分別位于邊長(zhǎng)為 r ( r 》ａ）的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上．首先，讓球 1 帶電荷 Q ( Q > 0 ) ，然后取一細(xì)金屬絲，其一端固定于球 1 上，另一端分別依次與球 2 、 3 、 4 、大地接觸，每次接觸時(shí)間都足以使它們達(dá)到靜電平衡．設(shè)分布在細(xì)金屬絲上的電荷可忽略不計(jì)．試求流人大地的電量的表達(dá)式．