古代沒有數(shù)字，祖沖之到底是如何計(jì)算圓周率的？祖崇志以1億元的直徑為1丈，圓周率為3丈1尺4寸1分5%9.2秒7胡，不足為3丈1尺4寸1分5%9.2秒6胡。你什么意思？這就是他擅長的。他并沒有像他的前輩

古代沒有數(shù)字，祖沖之到底是如何計(jì)算圓周率的？

祖崇志以1億元的直徑為1丈，圓周率為3丈1尺4寸1分5%9.2秒7胡，不足為3丈1尺4寸1分5%9.2秒6胡。你什么意思？這就是他擅長的。他并沒有像他的前輩那樣將π固定在一個(gè)值上，而是將它定義在3.1415926和3.1415927之間。

首先，古代數(shù)學(xué)用竹片作為籌碼來計(jì)算。據(jù)說，為了計(jì)算π，祖沖之在書房的地板上畫了一個(gè)直徑為1張的大圓，并在大圓上做了一個(gè)內(nèi)接正多邊形。所采用的方法與劉輝的“圓切法”相同。唯一不同的是，劉輝當(dāng)時(shí)只成就了內(nèi)接正96多邊形，祖崇志成就了驚人的正12288多邊形。與其去探究故事的真實(shí)與否，不如去了解學(xué)習(xí)琵琶的艱辛和祖沖之的心血與汗水。這不僅需要仔細(xì)計(jì)算，而且需要耐心和毅力。

正是在這種情況下，祖崇志才把π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后7位。他也是世界上第一個(gè)達(dá)到這種精確度的人。在隨后的900年里，沒有人能超越它，直到15世紀(jì)，它才被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾卡西打破。

計(jì)算圓周率時(shí)是怎樣測量周長和直徑精確值的？

我們知道圓周與圓直徑之比是一個(gè)常數(shù)，我們稱之為π，用希臘字母π表示。從π的定義出發(fā)，只要知道圓的周長和直徑，就可以計(jì)算出π的大小。然而，我們無法精確測量圓的周長和直徑。這種直接測量方法計(jì)算出的π值只是一個(gè)近似值，而不能得到π的準(zhǔn)確值。因此，如果要計(jì)算精確的π，只能用間接法。

2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次使用間接法計(jì)算π。阿基米德畫了一個(gè)內(nèi)接和外接的正多邊形。只要有更多的邊，正多邊形的周長就會(huì)更接近圓的周長，從而得到π的上下限。阿基米德把正多邊形做成96邊后，得到了π的范圍：3.1408<π< 3.1429。在阿基米德之后大約600年，中國數(shù)學(xué)家祖崇之用劉輝的切圓技術(shù)計(jì)算了圓內(nèi)接正多邊形12288的面積，得出π的范圍為3.1415926<π< 3.1415927，比世界領(lǐng)先800年。

但是，上述幾何方法有局限性。隨著正多邊形的邊越來越多，計(jì)算變得越來越復(fù)雜，在PI小數(shù)點(diǎn)后很難得到更多的數(shù)字。直到16世紀(jì)，無窮級(jí)數(shù)的發(fā)展給π的計(jì)算方法帶來了革命性的變化。人們發(fā)現(xiàn)了許多可以計(jì)算π的無窮級(jí)數(shù)，如Leibniz級(jí)數(shù)：

只要項(xiàng)數(shù)越多，就可以得到越精確的π。但無窮級(jí)數(shù)法存在收斂速度問題。如果收斂速度慢，需要計(jì)算更多的項(xiàng)才能得到滿意的結(jié)果。例如，Leibniz級(jí)數(shù)的收斂速度非常慢，只有在計(jì)算到500000項(xiàng)時(shí)才能得到π的前五位小數(shù)。因此，只有借助于收斂速度快的無窮級(jí)數(shù)，才能快速計(jì)算出精確的π。例如，印度數(shù)學(xué)家拉馬努金發(fā)現(xiàn)的公式：

在計(jì)算機(jī)的幫助下，人們通過無窮級(jí)數(shù)計(jì)算出圓周率小數(shù)點(diǎn)后22萬億位，收斂速度很快。

圓周率的精確值是怎么算出來的？

自古以來，世界上許多數(shù)學(xué)家就用各種方法來計(jì)算π，并為理解π這個(gè)數(shù)付出了無數(shù)的努力。戰(zhàn)國數(shù)學(xué)著作《周筆算經(jīng)》中有一句話，即圓的周長約為其直徑的三倍。這是人們?cè)陂L期的實(shí)際生產(chǎn)生活中摸索和總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。它不是通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算得到的準(zhǔn)確值。在應(yīng)用過程中，人們還發(fā)現(xiàn)用它計(jì)算出的周長和面積都小于實(shí)際值。后來數(shù)學(xué)家們用自己的方法逐步對(duì)其進(jìn)行提煉，然后開始了尋找π的精確值的漫長旅程。今天的數(shù)學(xué)家已經(jīng)用計(jì)算機(jī)把π精確到數(shù)億個(gè)小數(shù)位。