剩余，又稱剩余，是復(fù)變函數(shù)理論中的一個(gè)重要概念。是解析函數(shù)f（z）沿簡(jiǎn)單正閉合曲線的積分值。定義為：F（z）在0，則整數(shù)值（1/2πI）∫| z-a |=RF（z）DZ是F（z）相對(duì)于點(diǎn)a的余數(shù)，表示

剩余，又稱剩余，是復(fù)變函數(shù)理論中的一個(gè)重要概念。是解析函數(shù)f（z）沿簡(jiǎn)單正閉合曲線的積分值。

定義為：F（z）在0

，則整數(shù)值（1/2πI）∫| z-a |=RF（z）DZ是F（z）相對(duì)于點(diǎn)a的余數(shù)，表示為res[F（z），a]。如果f（z）是平面速度場(chǎng)的復(fù)速度，a是它的渦源點(diǎn)（即渦中心或源匯中心），則積分∫| z-a |=RF（z）DZ表示渦源-環(huán)狀流的強(qiáng)度，所以留數(shù)是環(huán)形流除以2πI的值。由于解析函數(shù)可以在孤立奇點(diǎn)附近展開(kāi)成勞倫特級(jí)數(shù)：F（z）=∑AK（z-a）k，如果我們沿著| z-a |=R逐項(xiàng)積分，我們可以立即看到res[F（z），a]=a-1，這表明留數(shù)是負(fù)的系數(shù)孤立奇點(diǎn)處解析函數(shù)的洛朗展開(kāi)的第一次冪項(xiàng)。

在復(fù)分析中，留數(shù)定理是計(jì)算解析函數(shù)沿閉合曲線的路徑積分的有力工具，也可以用來(lái)計(jì)算實(shí)函數(shù)的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。

留數(shù)定理：設(shè)d為復(fù)平面上的單連通開(kāi)域，C為其邊界，函數(shù)f（z）除d中有限個(gè)奇點(diǎn)A1，A2，…，an外為解析函數(shù)，閉域dc中除A1，A2，…，an外為連續(xù)函數(shù)，則C中的輪廓積分∑f（z）DZ=2πI∑res（f（z），AK）