【數(shù)學(xué)高手出招】證明:周長一定的凸多邊形中以正多邊形的面積最大？如果你懂高等數(shù)學(xué)，你可以證明1，任何n-形都有一個(gè)凸n-形，使其面積不小于原來的n-形。2頂點(diǎn)在原點(diǎn)的凸n多邊形（包括退化凸多邊形）是由

【數(shù)學(xué)高手出招】證明:周長一定的凸多邊形中以正多邊形的面積最大？

如果你懂高等數(shù)學(xué)，你可以證明1，任何n-形都有一個(gè)凸n-形，使其面積不小于原來的n-形。2頂點(diǎn)在原點(diǎn)的凸n多邊形（包括退化凸多邊形）是由其他n-1點(diǎn)的坐標(biāo)所決定的，因此它可以看作是2n-2維空間中具有一定周長的由這些點(diǎn)組成的集合，2n-2是空間中的緊集。面積在這個(gè)空間是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，所以有一個(gè)點(diǎn)取最大值。然后將該點(diǎn)確定的最大多邊形面積設(shè)為s。4如果s有兩個(gè)不相等的相鄰邊，則將其設(shè)為AB，BC，然后在AC的同一側(cè)有一個(gè)點(diǎn)B1，Ab1=B1C，Ab1 B1C=AB BC，然后是三角形ab1c的面積和gtabc的面積。然后，如果用B1代替B，則多邊形S1具有面積S1>，并且區(qū)域s具有凸n-多邊形S2>=S1>，這與s的最大面積相矛盾。因此s的所有邊都相等。5S的每一面都是相等的。存在S1為正n多邊形且s邊長度相等的情況。然后S1內(nèi)接一個(gè)圓O1，每個(gè)邊外都有一個(gè)拱形。在s的每一個(gè)邊緣向外做同樣的弓形，形成一個(gè)彎曲的n邊形狀o，那么o和O1的周長相等。根據(jù)等周定理O1的面積>=O的面積，所以S1的面積n弧的面積>=s的面積n弧的面積，然后S1的面積>=s的面積。

如何用簡單的方法證明「在周長一定時(shí)，圓的面積最大」？

假設(shè)周長為l，則四邊形中正方形的最大面積為（l/4）^2，即正方形的（l/4），面積為正方形的l/16。如果圓的半徑是L/2π，那么圓的面積就是L的平方除以4π。4π小于16，所以圓的面積大于正方形的面積，在周長一定的情況下，圓的面積最大