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如何計算生成元 設(shè)群G的階數(shù)為素數(shù)P.(1)證明:G為循環(huán)群(2)找出G的所有生成元？

2021-03-13
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設(shè)群G的階數(shù)為素數(shù)P.(1)證明:G為循環(huán)群(2)找出G的所有生成元？??1）任取G的一個不為單位元的元素a，考查由a生成的子群<a>。這是一個循環(huán)群，且為G的子群。由Lagrange定理，這

設(shè)群G的階數(shù)為素數(shù)P.(1)證明:G為循環(huán)群(2)找出G的所有生成元？

??1）任取G的一個不為單位元的元素a，考查由a生成的子群<a>。這是一個循環(huán)群，且為G的子群。由Lagrange定理，這個群的階數(shù)整除P，而顯然<a>不是平凡群（因?yàn)閍不是單位元），而P為素數(shù)，故<a>的階數(shù)只能為P。那么其實(shí)<a>就是整個群G。從而G為循環(huán)群。（2）由上面證明看出，任何一個不為單位元的元素都是G的生成元。不懂可以再問~

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