第八章 二元一次方程組課時分配8.1二元一次方程組 ??????????????1課時8.2 消元——二元一次方程組的解法??????? 4課時8.3再探實際問題與二元一次方程組??????? 3課時

第八章 二元一次方程組

課時分配

8.1二元一次方程組 ??????????????1課時

8.2 消元——二元一次方程組的解法??????? 4課時

8.3再探實際問題與二元一次方程組??????? 3課時

*8.4三元一次方程組解法舉例 ??????????2課時

本章小結(jié) ???????????????????2課時

8.1二元一次方程組

[教學(xué)目標(biāo)]理解二元一次方程、二元一次方程組及它們解的概念，會檢驗一對數(shù)是不是二元一次方程組的解。

[重點難點] 二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義是重點；理解二元一次方程組的解是難點。

[知識結(jié)構(gòu)]

一、問題導(dǎo)入

我們很多同學(xué)喜歡打籃球，這里面也有學(xué)問?？聪旅娴膯栴}：[投影1]

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分，負(fù)一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

你知道嗎？

二、二元一次方程和二元一次方程組

這個問題中包含了哪些必須同時滿足的條件？

勝的場數(shù)＋負(fù)的場數(shù)＝總場數(shù)，

勝場積分＋負(fù)場積分＝總積分.

若設(shè)勝的場數(shù)是x ，負(fù)的場數(shù)是y ，你能用方程把這些條件表示出來嗎？

x ＋y ＝22

2x ＋y ＝40

這兩個方程與一元一次方程有什么不同？它們有什么特點？

所含未知數(shù)的個數(shù)不同；特點是：（1）含有兩個未知數(shù)，（2）含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1。

像這樣含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程。 上面的問題包含了兩個必須同時滿足的條件，也就是未知數(shù)x 、y 必須同時滿足方程x ＋y ＝22和2x ＋y ＝40

把兩個方程合在一起，寫成 x ＋y ＝22 ①

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

2x ＋y ＝40 ②

了二元一次方程組.

三、二元一次方程、二元一次方程組的解

探究：[投影2]滿足方程①，且符合問題的實際意義的x 、y 的值有哪些？把它們填入表中.

為此我們用含x 的式子表示y ，即y ＝22－x （x 可取一些自然數(shù)）。

顯然，上表中每一對x 、y 的值都是方程①的解。

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解. 如果不考慮方程的實際意義，那么x 、y 還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？

還可以取x ＝－1，y ＝23；x ＝0.5，y ＝21.5，等等。

所以，二元一次方程的解有無數(shù)對。

上表中哪對x 、y 的值還滿足方程②？

x ＝18，y ＝2還滿足方程②. 也就是說，它們是方程①與方程②的公共解，記作?

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

四、例題

例1 若方程x 2 m –1 5y 2–3n = 7是二元一次方程. 求m 2＋n 的值。

分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？

解：依題意，得

2 m –1＝1，2–3n ＝1.

由2 m –1＝1，得 m ＝1

由2–3n ＝1得n ＝1/3

∴m 2＋n ＝1＋1/3＝4/3.

五、課堂練習(xí)[投影3]

二元一次方程

含有 ，并且未知項的次數(shù)是 的方程叫做二元一次方程。

〔1〕下列方程中是二元一次方程的是 .

①2x-5=y; ②x 1/2=1; ③xy=3; ④5x 2/y=1;⑤x2-3y=0; ⑥x ＋1/2y=3.

2、二元一次方程組

兩個含有 ，并且未知項的次數(shù)是 的兩個方程組成二元一次方程組。

3、二元一次方程的解

使二元一次方程 的兩個未知數(shù) ，叫做二元一次方程的解。

〔2〕寫出二元一次方程3x 2y=14的非負(fù)整數(shù)解。

2、下列各對數(shù)值中是二元一次方程x ＋2y=2的解的是〔 〕

A ??x =2

?y =0?x =18, ?y =4. B ??x =-2

?y =2 C ??x =0

?y =1 D ??x =-1

?y =0

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

六、課堂小結(jié)

1、二元一次方程、二元一次方程組的概念；

2、二元一次方程、二元一次方程組的解.

8.2消元（一）

[教學(xué)目標(biāo)]1、掌握代入法解二元一次方程組；2、經(jīng)歷探索二元一次方程組的解法的過程，初步體會“消元” 的基本思想.

[重點難點] 代入消元法解二元一次方程組是重點；理解“消元”的基本思想是難點。

[知識結(jié)構(gòu)]

一、情景導(dǎo)入

下面是我們討論過的一個關(guān)于籃球比賽的問題：[投影1]

籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊勝一場得2分. 負(fù)一場得1分，某隊為了爭取較好的名次，想在全部22場比賽中得到40分，那么這個隊勝負(fù)場數(shù)分別是多少？

請你求出結(jié)果。

設(shè)這個隊勝了x 場，依題意，得 2x (22-x)=40

解得 x ＝18

22－x ＝4

所以，這個隊勝了18場，負(fù)了4場.

我們知道，設(shè)勝的場數(shù)是x ，負(fù)的場數(shù)是y ，可列方程組：

x ＋y ＝22

2x ＋y ＝40

那么怎樣求這個方程組的解呢？

二、代入消元法

上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組中第1個方程x ＋y ＝22說明y ＝22－x ，將第2個方程2x ＋y ＝40的y 換為22－x ，這個方程就化為一元一次方程2x (22-x)=40。

這就是說，二元一次方程組中的兩個未知數(shù)，可以消去其中的一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程。這樣，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一未知數(shù). 這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

例1 解方程組：

?x -y =3 ?3x -8y =14?

分析：根據(jù)消元的思想，解方程組要把兩個未知數(shù)轉(zhuǎn)化為一個未知數(shù)，為此，需要用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)。怎樣表示呢？轉(zhuǎn)化成的一元一次方程是什么？

解：由①得x=y 3③

把③代入②，得 3（y ＋3）-8y ＝14

解得y=－1

把y=－1代人③得x=2.

?x =2 ∴? y =-1?

歸納：[投影2]上面的解法，是由二元一次方程組中一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解. 這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

解上面的方程組能消去y 嗎？試試看。

三、課堂練習(xí)：

二元一次方程組的解

二元一次方程組的兩個方程的 叫做二元一次方程組的解。

〔3〕??x =5

?y =2 是方程組 ??x y =7,

?3x y =17. 的解嗎？為什么？

2、怎樣用代入消元法解二元一次方程組？怎樣用加減消元法解二元一次方程組？ 〔4〕用兩種方法解方程組?

四、課堂小結(jié)

1、什么是消元的思想？什么是代入消元法？

2、用代入消元法解二元一次方程組。

作業(yè)：

3、（1）－y =5

2x ＋4y=24

（2）

1. 5x -0. 5y =12x 3y =5?4x 3y =3, ?3x -2y =15.

8.2消元（二）

〔教學(xué)目標(biāo)〕初步學(xué)會用二元一次方程組解決簡單的實際問題及有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。 〔重點難點〕二元一次方程的運用是重點；用二元一次方程組解決簡單的實際問題是難點。

〔知識結(jié)構(gòu)〕

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用代入消元法解二元一次方程組，回憶一下：

怎樣用代入消元法解二元一次方程組？什么是二元一次方程組的解？

今天我們學(xué)習(xí)用二元一次方程組解決有關(guān)的問題。

二、例題

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

例1[投影1]x =2

y =-1ax y =b

4x -by =a 5的解，求a 、b 的值.

分析：根據(jù)方程組的解的意義，我們可以知道什么？

?2a -1=b ①解：把代入，得? y =-14x -by =a 5?4?2 b =a 5② x =2ax y =b

把①代入②，得

8 2a-1=a 5 解得a ＝－2

把a ＝－2代入①，得b=-5

∴??a =-2

?b =-5

例2[投影2] 根據(jù)市場調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250 g)兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量比（按瓶計算）為2：5. 某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5噸，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶裝兩種產(chǎn)品各多少瓶？

分析：問題中有哪些未知量？

消毒液應(yīng)該分裝的大瓶數(shù)和小瓶數(shù)。

問題中有哪些等量關(guān)系？

大瓶數(shù)︰小瓶數(shù)＝2︰5

大瓶所裝消毒液＋小瓶所裝消毒液＝22.5噸

設(shè)怎樣的未知數(shù)可以表示上面的兩個等量關(guān)系？

設(shè)這些消毒液應(yīng)分裝x 大瓶和y 小瓶，則

?5x =2y

??500x 250y =22500000

請你用代入消元法解答上面的方程組。

解之得，??x =20000

?y =50000

答：這些消毒液應(yīng)該分裝20000大瓶和50000小瓶.

四、課堂小結(jié)

列二元一次方程組解決實際問題與列一元一次方程解決實際問題的思想和步驟是相同的，不同的是一個設(shè)一個未知數(shù)，一個設(shè)兩個未知數(shù). 一般地，同一個問題既可以列一元一次方程來解決，也可以列二元一次方程組來解決，不過，有時設(shè)兩個未知數(shù)列方程組更方便些。

作業(yè)：

?x =1?ax -by =1?補充題：已知方程組?的解為?1，求a ＋b 的值.

?bx ay =3?y =?2

8.2消元（三）

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

〔教學(xué)目標(biāo)〕掌握加減法解二元一次方程組。

〔重點難點〕用加減法解二元一次方程組是重點；用加減法解相同未知數(shù)的系數(shù)不成整數(shù)倍的二元一次方程組是難點。

〔知識結(jié)構(gòu)〕

一、情景導(dǎo)入

[投影1]王老師昨天在水果批發(fā)市場買了2千克蘋果和4千克梨共花了14元，李老師以同樣的價格買了2千克蘋果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售價是多少？比一比看誰求得快．

最簡便的方法：抵消掉相同部分，王老師比李老師多買了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售價為2元．

這種思想也可以用來解二元一次方程組。

二、加減消元法

我們知道，對于方程組??x y =22可以用代入消元法求解，除此之外，還

?

2x y =40有沒有別的方法呢？

這個方程組的兩個方程中，y 的系數(shù)有什么關(guān)系？?利用這種關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)新的消元方法嗎？

y 的系數(shù)相等；用②－①可消去未知數(shù)y ，

得(2x y)-(x y)=40-22 解得x=18

把x=18代入①得y=4。

顯然，由①－②也能消去未知數(shù)y.

思考：聯(lián)系上面的解法，想一想應(yīng)怎樣解方程組??4x 10y =3.6①

?15x -10y =8 ②

這兩個方程中未知數(shù)y 的系數(shù)互為相反數(shù)，?因此由①＋②可消去未知數(shù)y ，從而求出未知數(shù)x 的值。

我們看到，把兩個二元一次方程的兩邊分別相加減，可以達(dá)到“消元”的目的。

[投影2] 當(dāng)兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

三、例題

例 用加減法解方程組??3x 4y =16①

?5x -6y =33②

分析：這兩個方程中未知數(shù)的系數(shù)既不相反也不相同，直接加減不能消元，試一試，能否對方程變形，使得兩個方程中某個未知數(shù)的系數(shù)相反或相同。

解：①×3, 得 9x 12y=48 ③

②×2, 得 10x-12y=66 ④

③＋④, 得 19x=114

x=6

把x=6代入①，得3×6 4y=16

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

4y=-2, y=-1

2

?x =6

所以，這個方程組的解是??1

?y =-?2

想一想：本題如果用加減法消去x 該怎么辦？

把①×5，②×3即可。

五、課堂小結(jié)

1、什么是加減消元法？

2、用加減消元法解二元一次方程。

8．2 消元（四）

[教學(xué)目標(biāo)]初步學(xué)會用二元一次方程組解決有關(guān)的問題，進(jìn)一步認(rèn)識方程模型的重要性。

[重點難點] 用二元一次方程組解決有關(guān)的問題是重點；列二元一次方程組是難點。

[知識結(jié)構(gòu)]

一、

1、什么是二元一次方程組？什么是二元一次方程組的解？

2、解二元一次方組的基本思想是什么？有哪些方法？

今天我們來運用二元一次方程組解決有關(guān)的問題。

二、例題

例1[投影1] 甲、乙兩人同求方程a x －by=7的整數(shù)解，甲求出的一組解為 而x=1 x=3 7錯看成了1，求得一組解為 試求 y=2, y=4,

a 、b 的值。

分析：由甲求出的一組解，我們可以知道什么？由乙求出的一組解我們可以知道什么？怎樣求a 、b 的值呢？

解：把x=3,y=4代入a x －by=7，得

3a －4b=7①

把x=1,y=2代入a x －by=1，得

a －2b=1② 3a －4b=7 聯(lián)立①②得方程組a －2b=1 a =5 解之，得b =2,

故a 、b 的值分別是5、2。

例2 [投影2] 2臺大收割機和5臺小收割機工作2小時收割小麥3．6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機工作5小時收割小麥8公頃，問：1臺大收割機和1臺小收割機1小時各收割小麥多少公頃？

分析：本題要我們求什么？

1臺大收割機1小時收割小麥的公頃數(shù)和1臺小收割機1小時收割小麥公頃數(shù)。

本題的等量關(guān)系是什么？

2臺大收割機2小時的工作量＋5臺小收割機2小時的工作量=3.6

3臺大收割機5小時的工作量＋2臺小收割機5小時的工作量=8

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

若設(shè)1臺大收割機和1臺小收割機1小時各收割小麥x 公頃和y 公頃. 請你列出方程組。

?2(2x 5y ) =3.6 ??5(3x 2y ) =8

?4x 10y =3.6 整理, 得? 15x 10y =8? ②-①, 得11x=4.4

∴x=0.4

把x=0.4代入①, 得y=0.2

∴ ??x =0.4

?y =0.2

答:1臺大收割機和1臺小收割機1小時各收割小麥0.4公頃和0.2公頃.

課時練習(xí)

x -y ?x y =6, ?1解方程組?2 3

?2(x y ) -3x 3y =24. ?

2 若(a-3)x y

︱a ︱-2 =9是關(guān)于的x 、y 的二元一次方程，求a 的值。

3 已知方程組??3x -y =5,

?a x -b y =4. 與方程組??a x b y =6,

?4x -7y =1. 的解相同，求

a －b 的值。

4 興華學(xué)校美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，則還剩16枝；若有1人只取2枝，則其余的人恰好每人各得6枝，問同學(xué)有多少人？鉛筆有多少枝？

第八章復(fù)習(xí)一（8.1－8.2）

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

一、雙基回顧

1、二元一次方程

含有 ，并且未知項的次數(shù)是 的方程叫做二元一次方程。

〔1〕下列方程中是二元一次方程的是 .

①2x-5=y; ②x 1/2=1; ③xy=3; ④5x 2/y=1;⑤x2-3y=0; ⑥x ＋1/2y=3.

2、二元一次方程組

兩個含有 ，并且未知項的次數(shù)是 的兩個方程組成二元一次方程組。

3、二元一次方程的解

使二元一次方程 的兩個未知數(shù) ，叫做二元一次方程的解。

〔2〕寫出二元一次方程3x 2y=14的非負(fù)整數(shù)解。

4、二元一次方程組的解

二元一次方程組的兩個方程的 叫做二元一次方程組的解。

〔3〕??x =5

?y =2 是方程組 ??x y =7,

?3x y =17. 的解嗎？為什么？

5、怎樣用代入消元法解二元一次方程組？怎樣用加減消元法解二元一次方程組？ 〔4〕用兩種方法解方程組?

二、例題導(dǎo)引

x -y ?x y =6, ?例1解方程組?2 3

?2(x y ) -3x 3y =24. ??4x 3y =3, ?3x -2y =15.

例2 若(a-3)x y

︱a ︱-2 =9是關(guān)于的x 、y 的二元一次方程，求a 的值。

例3 已知方程組??3x -y =5,

?a x -b y =4. 與方程組??a x b y =6,

?4x -7y =1. 的解相同，求

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)

a －b 的值。

例4 興華學(xué)校美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆若干枝，若其中4人每人各取4枝，其余的人每人取3枝，則還剩16枝；若有1人只取2枝，則其余的人恰好每人各得6枝，問同學(xué)有多少人？鉛筆有多少枝？

三、練習(xí)升華

夯實基礎(chǔ)

1、將二元一次方程5x ＋2y=3化成用含有x 的式子表示y 的形式是y= ；化成用含有y 的式子表示x 的形式是x= 。

2、若方程x 2m -1 (3n -2) y =7是二元一次方程，則3、已知x ＝2，y ＝2是方程ax －2y ＝4的解，則a ＝________.

4、方程x ＋2y=7在自然數(shù)范圍內(nèi)的解〔 〕

A 有無數(shù)個 B 有一個 C 有兩個D 有三個

5、若??x =2

?y =1是方程組??mx -ny =1

?nx my =8的解則??m =

?n =

6、解方程組

（1）?

（3

7、已知方程組?

www.1230.org （中文域名：初中數(shù)學(xué).cn ） 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng) ?4x -y =5?3(x -1) =2y -3 （2）??3x 4y =29　5　?5x -2y =　 1. 5x -0. 5y =12x 3y =5 （4）??2x 3y =12?3x 4y =17 ?2x -3y =5?5x 7y =-2，求x :y 的值。